№2. (ФИПИ) Задача повышенной сложности

В выпуклом четырехугольнике NPQM диагональ NQ является биссектрисой угла PNM  и пересекается с диагональю PM в точке S. Найдите NS, если известно, что около четырехугольника NPQM можно описать окружность, PQ = 86, SQ = 43.

Решение:

<QPM = <QNM т.к вписанные и опираются на одну дугу QM. <QNM = <PNQ (из условия, что NQ-биссектриса).  Треугольник PQS ~ треугольнику NQP (по двум углам: <QPS = <PNQ; <Q-общий).

PQ/NQ=QS/QP    86/43+NS = 43/86

7396=43(43+NS)

7396=1849+43NS

43NS=5547

NS=129

Ответ: 129